Solving Mixed-Integer Programming Problems Using Piecewise Linearization Methods

We present an overview on piecewise linearization methods for MINLPs. This will include the concept of disjunctive constraints, which is necessary to define logarithmic reformulations of the so called disaggregated convex combination method and the convex combination method. For the case of a general univariate quadratic function we also calculate the linearization error and proof that equidistant grid points minimize this error. For a bivariate product of two variables we do the same error analysis for the case of J1-triangulations and again equidistant grid points will be optimal. The presented methods will then be applied to a newly developed model for a hybrid energy supply network problem. We show that linearizations are able to solve this non-convex optimization problem within reasonable time. Zusammenfassung Wir geben einen Überblick zu stückweisen Linearisierungsmethoden für MINLPs. Insbesondere wird dabei das Konzept der Disjunctive Constraints vorgestellt, welche notwendig sind um logarithmische Umformulierungen der sogenannten Disaggregated Concex Combination Methode und der Convex Combination Methode durchzuführen. Für den Fall einer univariaten quadratischen Funktion berechnen wir außerdem den Linearisierungsfehler und beweisen, dass eine äquidistante Wahl der Gitterpunkte der Triangulierung diesen minimiert. Für das bivariate Produkt zweier Variablen werden wir dieselbe Fehleranalyse für den Fall, dass eine J1-Triangulierung gegeben ist, durchführen und erneut zeigen, dass äquidistante Gitterpunkte optimal sind. Danach werden die eingeführten Methoden auf das neu entwickelte Modell eines hybriden Energieversorgungsnetzwerks angewendet. Wir werden zeigen, dass dieses Problem mit Hilfe von stückweisen Linearisierungen in kurzer Zeit gelöst werden kann. 2 Solving Mixed-Integer Programming Problems Using Piecewise Linearization Methods